ترتيب العمليات الحسابية

ترتيب العمليات الحسابية المعروفة أيضًا باسم أسبقية المعامل، هي قاعدة تستخدم في علوم الرياضيات وبرمجة الحاسوب لتحديد أي العمليات الحسابية يجب تنفيذها أولاً في جملة حسابية معينة.

ترتيب العمليات الحسابية

باستخدام المعلومات المقدمة، يمكن تبسيط قواعد ترتيب العمليات الحسابية كما يلي:

الأقواس:

•   يجب البدء بحل المعادلات داخل الأقواس.
•    على سبيل المثال، في 4×(5+3)، يجب حل الأقواس أولاً للحصول على 32، وإذا لم يتم حل الأقواس أولاً، فإن الإجابة ستكون خاطئة.

الأس التربيعي:

•    يجب حساب الأس التربيعي قبل العمليات الأخرى.
•   على سبيل المثال، في 5×2²، يجب حساب الأس التربيعي أولاً للحصول على 20، وإذا لم يتم حل الأس التربيعي أولاً، فسيكون الجواب خاطئًا.

الضرب والقسمة:

•    تأتي العمليات الخاصة بالضرب والقسمة بعد ذلك.
•   على سبيل المثال، في 3×5+2، يجب البدء بالضرب للحصول على 15 ثم الجمع للحصول على 17، وإذا تم البدء بالجمع أولاً، فإن الإجابة ستكون خاطئة.

الجمع والطرح:

•    يتم حساب الجمع والطرح في النهاية.
•    في حالة وجود عمليات الجمع والطرح فقط، يتم حلها بالترتيب الذي تظهر به في المسألة.

باتباع هذه القواعد، يمكن الحصول على النتائج الصحيحة لأي مسألة حسابية.

ملاحظات حول أولويات العمليات الحسابية

في حالة تكافؤ العمليات الحسابية في المسألة بالأولوية، أي احتواء المسألة على عمليتي ضرب أو قسمة وضرب مثلاً، أو عمليتي جمع وطرح أو أكثر، فإن الحل يكون بالبدء من اليمين إلى اليسار باللغة العربية، ومن اليسار إلى اليمين باللغة الإنجليزية.

على سبيل المثال، عند حل المسألة الرياضية التالية: 30÷5×3، فإن النتيجة تكون كما يلي:

• بالبدء من اليمين كما يلي: 30÷5×3 = 6×3 = 18 (حل صحيح)
•  بالبدء من اليسار كما يلي: 30÷5×3 = 30÷15 = 2 (حل خاطئ)

في حال احتواء المسألة الرياضية على أكثر من عملية تكافؤ، مثل رفع نفس العدد لأسين، فإن الحل يتم بالبدء من الأعلى إلى الأسفل.

مثال على ذلك هو حل مسألة مثل 432، حيث يُرفع 43 للقوة 2، فيتم حلها كما يلي:

•  يتم حساب أولاً: 3² = 9، لذلك تصبح المسألة: 49.
•  بالتالي، الناتج النهائي يكون 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 262144.

اقرأ أيضًا: بحث عن الاسس النسبية وقواعدها

أمثلة متنوعة حول ترتيب العمليات الحسابية

المثال الأول: 

ما هو ناتج العملية الحسابية التالية: \( \frac{12}{6} \times 3 \div 2 \)؟

الحل: بما أن القسمة والضرب متكافئتان بالأولوية، يتم الحل بالبدء من اليمين إلى اليسار. 

\( \frac{12}{6} = 2 \)، ثم \( 2 \times 3 = 6 \)، ثم \( 6 \div 2 = 3 \).

بالتالي، الناتج يساوي 3.

أي أن العملية تمت كما يلي: \( \frac{12}{6} \times 3 \div 2 = 2 \times 3 \div 2 = 6 \div 2 = 3 \).

المثال الثاني

ما هو حل المسألة التالية: \( 4 + 3^2 \)؟

الحل: الأولوية للأسس أولاً، لذا \( 3^2 = 9 \)، ثم \( 4 + 9 = 13 \).

أي أن العملية تمت كما يلي: \( 4 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \).

المثال الثالث

ما هو حل المسألة الرياضية التالية: \( 4 + (-1) \times (-2-1)^2 \)؟

الحل: الأولوية للقوس أولاً، وفي حالة وجود قوسين، نبدأ بالقوس الداخلي ثم الخارجي. 

يصبح القوس الداخلي: \( -1 \times (-3) \)، ثم \( 4 + (3)^2 \)، ثم الأولوية للأس التربيعي: \( 4 + 9 \)، ثم يتم إيجاد ناتج الجمع، ويساوي 13.

أي أن العملية تمت كما يلي: \( 4 + (-1) \times (-2-1)^2 = 4 + (-1) \times (-3)^2 = 4 + 9 = 13 \).

المثال الرابع

ما هو حل المسألة التالية: \( 16 – 3 \times (8-3)^2 \div 5 \)؟

الحل: الأولوية أولاً للقوس: \( 16 – 3 \times (5)^2 \div 5 \)، ثم للأس: \( 16 – 3 \times 25 \div 5 \)، ثم للضرب والقسمة من اليمين لليسار: \( 16 – 75 \div 5 \)، ثم لعملية القسمة: \( 16 – 15 \)، ثم لعملية الطرح: \( 1 \).

أي أن العملية تمت كما يلي: \( 16 – 3 \times (8-3)^2 \div 5 = 16 – 3 \times (5)^2 \div 5 = 16 – 3 \times 25 \div 5 = 16 – 75 \div 5 = 16 – 15 = 1 \).

المثال الخامس

ما هو ناتج المسألة الرياضية التالية: \( 6 \times 3 + 4 \times (9 \div 3) \)؟

الحل: الأولوية للأقواس أولاً: \( 6 \times 3 + 4 \times 3 \)، ثم الأولوية للضرب من اليمين: \( 18 + 4 \times 3 \)، ثم الأولوية للضرب ثم الجمع: \( 18 + 12 = 30 \).

أي أن العملية تمت كما يلي: \( 6 \times 3 + 4 \times (9 \div 3) = 6 \times 3 + 4 \times 3 = 18 + 3 \times 4 = 18 + 12 = 30 \).

المثال السادس

ما هو حل المسألة الرياضية التالية: \( 3 + 6 \times (5 + 4) \div 3 – 7 \)؟

الحل: الأولوية للأقواس أولاً: \( 3 + 6 \times 9 \div 3 – 7 \)، ثم الأولوية للضرب والقسمة من اليمين لليسار: \( 3 + 54 \div 3 – 7 \)، ثم الأولوية للجمع والطرح من اليمين لليسار: \( 3 + 18 – 7 = 21 – 7 = 14 \).

أي أن العملية تمت كما يلي: \( 3 + 6 \times (5 + 4) \div 3 – 7 = 3 + 6 \times 9 \div 3 – 7 = 3 + 54 \div 3 – 7 = 21 – 7 = 14 \).

المثال السابع

ما هو حل المسألة الرياضية التالية: \( 9 – 5 \div (8 – 3) \times 2 + 6 \)؟

الحل: الأولوية للأقواس أولاً: \( 9 – 5 \div 5 \times 2 + 6 \)، ثم للقسمة والضرب من اليمين لليسار: \( 9 – 1 \times 

اقرأ أيضًا: أنواع الفيروسات في الحاسوب وأضرارها

أولويات العمليات الحسابية في الحاسوب

تتمثل هذه الأولويات في الترتيب التالي:

• الأقواس.
•  الأسس.
• الضرب والقسمة.
• الجمع والطرح.

مثال: ما هي طريقة حل المسألة الرياضية التالية وفقًا لأولويات العمليات الحسابية في الحاسوب؟

\[ 3 \times 6 \div 3 + 12 + (20 + 5) \]

الحل:

نبدأ بحل العملية الموجودة بين الأقواس لأنها تمتلك الأولوية حسب قاعدة أسبقية المُعامل.

نقوم بجمع العددين 20 و 5 ليصبح الناتج 25، لتصبح المعادلة: 

\[ 3 \times 3 \div 6 + 12 + 25 \]

ثم نقوم بعملية الضرب بضرب العدد 3 في العدد 6 ليصبح الناتج 18، وبعد ذلك نقوم بعملية القسمة بقسمة الناتج عن الضرب (العدد 18) على العدد 3 ليصبح الناتج 6، وبالتالي تصبح المعادلة:

\[ 18 \div 3 + 12 + 25 \]

نقوم بجمع العددين 6 و 12 ليصبح الناتج 18، ثم نقوم بجمع الناتج مع العدد 25 ليكون الناتج النهائي:

\[ 6 + 12 + 25 = 43 \]

 

إتباع أولويات العمليات الحسابية أمر ضروري لحل المسائل الرياضية بدقة وتجنب الأخطاء، هذه الأولويات تساعد في تحديد ترتيب تنفيذ العمليات الحسابية، وهي كما يلي: الأقواس تأتي في الأسبقية، تليها الأسس، ثم الضرب والقسمة، وأخيرا الجمع والطرح باتباع هذا الترتيب، يمكن الحصول على إجابة صحيحة ودقيقة.