الاعداد الصحيحة الطبيعية

الاعداد الصحيحة الطبيعية، في الرياضيات، يعرف الاعداد الصحيحة الطبيعية كأي عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3، وما بعدها كلها، يضاف إلى هذه المجموعة أحيانا الصفر، ويرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N، وتعتبر هذه المجموعة غير منتهية، يعتبر الواحد هو أصغر الأعداد الطبيعية في حالة عدم تضمين الصفر (ℕ)، بينما يعتبر الصفر هو أصغر الأعداد في حالة تضمين الصفر (ℕ0)، ويتم تحديدها بواسطة علاقة الترتيب: لكل عدد طبيعي له خلفه وهو أيضًا عدد صحيح طبيعي، بمعنى آخر، كل عدد طبيعي، فإذا كان x عددًا طبيعيًا، فإن x + 1 عدد طبيعي أيضًا”.

الاعداد الصحيحة الطبيعية

من خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية: الإغلاق بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب، والتبادلية في الجمع والضرب. ووجود العناصر المحايدة، حيث الصفر هو العنصر المحايد للجمع والواحد هو العنصر المحايد للضرب. والتوزيعية لعملية الضرب على الجمع.

يلاحظ أن العديد من علماء الرياضيات الإغريق لم يعتبروا الواحد عددًا، بل اعتبروا الاثنان هو أصغر الأعداد.

الاعداد الصحيحة الطبيعية
الاعداد الصحيحة الطبيعية

اقرأ أيضًا: اسئله رياضيات سؤال وجواب للمتفوقين

تاريخ الجذور القديمة

في الأزمنة القديمة، كانت الأرقام الطبيعية تمثل عن طريق وضع علامة للأشياء المعدودة. تطور هذا التمثيل ليتضمن مقارنة الأشياء المعدودة بأخرى لمعرفة الزيادة والنقصان أو المساواة، حيث يتم حذف شيء وشطب علامته أو إضافة شيء آخر مع علامة له وهكذا.

شكل نظام العد خطوة هامة في تطور تمثيل الأرقام، إذ مكن الإنسان من تسجيل أعداد كبيرة.

لدى المصريين القدماء نظام عد استخدم رموزا هيروغليفية مختلفة لتمثيل 1 و10 وجميع القوى من 10 لأكثر من مليون، ويعود أقدم نقش حجري في الكرنك، والذي يعود تاريخه إلى حوالي 1500 قبل الميلاد، لتمثيل الأعداد 276. حيث يشير 2 إلى المئات، و7 إلى العشرات، و6 إلى الآحاد. وبنفس الطريقة، يتم تمثيل الرقم 4622.

كان لدى البابليين نظام عد قيمة الموضع اعتمد على الأرقام من 1 إلى 10، مستخدمين قاعدة ستينية. وكان لرمز العدد 60 نفس الرمز الخاص بالعدد 1 ولكن السياق يميز بينهما.

تطور نظام العد ليشمل تخصيص رمز للصفر كرقم، يعود استخدام الرقم للصفر في نظام القيمة الموضعية إلى البابليين حوالي عام 700 قبل الميلاد. حيث كانوا يحذفون هذا الرقم إذا كان آخر رقم في العدد.

استخدمت حضارات الأولمك والمايا الصفر كرقم في بدايات القرن الأول قبل الميلاد، ولكنه لم ينتشر خارج أمريكا الوسطى.

في العصر الحديث، بدأ استخدام الصفر مع عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا حوالي عام 628 ميلاديًا. ولكن استخدم ديونيسيوس الصغير في عام 525 ميلادي الصفر كرقم لحساب عيد الفصح، دون أن يشار له كرقم. حيث لا تتضمن الأرقام الرومانية القياسية رمز الصفر.

أول دراسة منهجية للأرقام كمفهوم مجرد تناسب عادة للفلاسفة اليونانيين فيثاغورس وأرخميدس، اعتبر بعض علماء الرياضيات اليونانيون أن الرقم 1 يختلف عن الأعداد الأكبر منه، أحيانا لا يعتبر عددًا. حيث لاحظ إقليدس أن الوحدة (الرقم 1) ليست عددًا، ويعرف العدد على أنه الكمية المؤلفة من الوحدات.

تم دراسة الأرقام تقريبًا في نفس الوقت في الهند والصين وأمريكا الوسطى في العصور القديمة.

اقرأ أيضًا: برامج تعلم اللغة الانجليزية من الصفر مجانا

التعريفات الحديثة

في القرن التاسع عشر في أوروبا، نشأ نقاش رياضي وفلسفي حول طبيعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، قام هنري بوانكاريه بتمثيل الفلسفة الطبيعانية. وقام بنقد تعريف الرياضيين (مثل فريجه وديدكايند وراسل) للأرقام بشكل منطقي، حيث يمكن أن يؤدي ذلك إلى تناقضات وحلقات دائرية في التعريفات. بدلاً من ذلك، اعتبر بوانكاريه أن الأرقام هي نتاج طبيعي للنفس البشرية ولطبيعة الأشياء من حولنا. وهذا يتوافق مع رؤية كرونيكر الذي قال: خلق الله الأعداد الصحيحة، وغير ذلك من صنيع البشر.

نتيجة لانتقادات الطبيعانيين، بدأ البنائيون في القرن التاسع عشر في الاعتقاد بضرورة تطوير أسس الرياضيات المنطقية لتكون أكثر دقة.

في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح جراسمان تعريفًا ذاتيًا للأعداد الطبيعية باستخدام الاستقراء الرياضي، حيث بدأ من الصفر ثم أضاف واحد (تسمى القيمة e) للحصول على الرقم التالي وبالتالي. فإن هذه الأعداد هي نتاج لاستخدام دالة الاستقراء، وليست نتاجا طبيعيا تمامًا.

ومن بعد جراسمان، قدم فريجه تعريف باستخدام نظرية المجموعات في البداية. عارف الرقم الطبيعي على أنه مجموعة تحتوي على جميع المجموعات التي يمكن أن تكون في تقابل واحد لواحد مع مجموعة معينة ومع ذلك، أدى هذا التعريف إلى مفارقات. كما حدث في مفارقة راسل، لتجنب هذا. تم تعديل التعريف ليصبح الرقم الطبيعي هو المجموعة نفسها، وأي مجموعة يمكن أن تكون في تقابل واحد لواحد معها تحتوي على نفس عدد العناصر.

بعد فريجه، قدم بيرس تعريف. وحسنه ديديكيند، وطوره بيانو بصورة أكبر فيما يعرف الآن بمسلمات بيانو، يعتمد هذا التعريف على مسلمات خصائص الأعداد الترتيبية. حيث كل رقم طبيعي له خلف وكل رقم طبيعي غير صفري له سلفا متفرد.

مجموعة الأعداد الصحيحة تشبه مجموعة الأعداد الطبيعية في العديد من النواحي، باستثناء أنها تحتوي على عدد إضافي. وهو الصفر (0)، تتم كتابة مجموعة الأعداد الصحيحة في الرياضيات بالشكل التالي: {0،1،2،3، …} ويشار إليها بالحرف W.